Chap. N° 08

Relativité restreinte. Exercices.

 

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 I- Exercice 9 page 219 : étudier un électron dans un tube cathodique d’un téléviseur.

II- Exercice 11 page 220 : exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée.

III- Exercice 15 page 220 : une période variable.

IV- Exercice 18 page 222 : Expérience de Bertozzi.

V- Exercice 20 page 223 : Quand les durées se dilatent.

VI- Exercice 26 page 225 : L’énergie relativiste.

VII- Voyage vers le futur. Nathan (exercice 31 page 258) Les jumeaux.

 
   
 

 


 

 

I- Exercice 9 page 219 : étudier un électron dans un tube cathodique d’un téléviseur.

 

L’étude d’un électron dans un tube cathodique d’un ancien modèle de téléviseur a montré que le coefficient γ qui lui est associé dans un référentiel terrestre supposé galiléen est égal à 1,05.

1)- Exprimer la valeur v de la vitesse de déplacement de l’électron dans ce référentiel terrestre.

2)- Calculer sa valeur.

-     Le coefficient γ est donné par la relation :
-      
-     Avec c = 2,99792458 x 108 m . s–1

 

3)- Expression de la valeur v de la vitesse de déplacement de l’électron dans ce référentiel terrestre.

-     Système étudié : l’électron
-     Référentiel terrestre (R)
-     Référentiel lié à l’électron (R’)
-     Schéma :

 

-    

4)- Valeur de v :

-     Valeur de la vitesse de déplacement d’un électron dans un référentiel terrestre.
-     Application numérique :
-      

 

 

II- Exercice 11 page 220 : exploiter la relation entre durée propre et durée mesurée.

 

Un astronaute s’éloigne de la Terre avec une vitesse de valeur constante v = 0,90 x c suivant une trajectoire rectiligne jusqu’à une planète distante de d = 4,0 années de lumière.

La durée mesurée ΔT’ par une horloge sur Terre est différente de la durée propre ΔT0 relevée par une horloge fixe dans un référentiel lié à l’astronaute supposé galiléen.

-     Ces deux durées sont reliées par : ΔT’ = γ . ΔT0
-     Le coefficient γ est donné par la relation :
-    
-     v est la vitesse relative des horloges qui mesurent ΔT’ et ΔT0.

1)- Quelle est la durée du trajet de l’astronaute pour un observateur terrestre ?

2)- Quelle est la durée de ce même trajet pour l’astronaute ?

 

Données : 1 a.l  = 9,46 10 15 m et c = 3,0 x 108 m . s –1

 

 

 

1)- Durée du trajet de l’astronaute pour un observateur terrestre :

-     Schéma :

 

-     Durée mesurée :
-     ΔT’ = γ . ΔT0
-     L’astronaute se déplace à la vitesse v par rapport au référentiel terrestre.
-     Il parcourt la distance d = 4,0 a.l
-     1 a.l est la distance parcourue par la lumière en une année
-     1 a.l = c x a
-     Ainsi, la distance d peut être écrite en utilisant la formulation suivante :
-     d = 4,0 c x a
-     La durée du parcourt est donnée par la relation :
-      

2)- Durée de ce même trajet pour l’astronaute :

-     Durée propre :
-     ΔT’ = γ . ΔT0
-      

 

III- Exercice 15 page 220 : une période variable.

 

 

On imagine qu’une fusée se déplace selon une trajectoire rectiligne avec une vitesse de valeur constante v = 250000 km . s–1 par rapport à la Terre.

À son bord, un astronaute envoie à un ami resté sur la Terre un signal lumineux périodique. Il règle sa fréquence d’émission f à 5,0 Hz.

Le référentiel terrestre et celui lié à la fusée sont supposé galiléens pendant la durée des mesures.

Données :

-     Les durées propre ΔT0 et mesurée ΔT sont reliées par :
-     ΔT’ = γ . ΔT0
-    
-     Avec v la valeur de la vitesse relative des horloges qui mesurent ΔT0 et ΔT
-     c = 3,0 x 108 m . s –1

1)- Quels sont les deux évènements à considérer pour étudier la période du signal lumineux envoyé par l’astronaute à son ami ?

2)- Quelle est la période propre du signal lumineux ?

3)- Quelle est la période mesurée de ce signal par l’ami resté sur Terre ?

 

 

1)- Les deux évènements à considérer pour étudier la période du signal lumineux envoyé par l’astronaute à son ami :

-     Évènement 1 : émission du signal à la date t1
-     Évènement 2 : émission du signal à la date t1 + T
-     T représente la période propre du signal dans la fusée.

 

2)- Période propre du signal lumineux :

-      

3)- Période mesurée de ce signal par l’ami resté sur Terre :

-     Période mesurée :
-     ΔT’ = γ . ΔT0
-      

 

IV- Exercice 18 page 222 : Expérience de Bertozzi.

 

Dans l’expérience de Bertozzi, réalisée en 1964 par le physicien William BERTOZZI, des électrons sont accélérés sous l’effet d’une tension électrique U.

On démontre, en mécanique classique, que la valeur de la vitesse des électrons par rapport au référentiel terrestre est donnée par la relation :

 

e est la charge élémentaire, m la masses de l’électron et U la tension appliquée en volt.

Données :

-     e = 1,60 x 10–19 C et m = 9,11 x 10–31 kg

1)- Analyse dimensionnelle et tableau :

a)-   À l’aide d’une analyse dimensionnelle ou en utilisant les unités du système international, vérifier que l’expression de vc donnée ci-dessus est homogène.

b)-  Compléter le tableau ci-dessous :

U (V)

vc (m . s–1)

1,00 x 102

 

1,00 x 103

 

1,00 x 104

 

1,00 x 105

 

1,00 x 106

 

1,00 x 107

 

2)- Le tableau ci-dessous donne les valeurs expérimentales de la vitesse mesurées par W. BERTOZZI.

U (V)

vc (m . s–1)

1,00 x 102

5,93 x 106

1,00 x 103

1,87 x 107

1,00 x 104

5,85 x 107

1,00 x 105

1,64 x 108

1,00 x 106

2,82 x 108

1,00 x 107

2,99 x 108

-     Les valeurs expérimentales confirment-elles les prévisions de la mécanique classique ?

3)- Quelle est la valeur limite de la vitesse que peuvent atteindre les électrons ?

4)- La mécanique classique est-elle toujours utilisable ?

 

 

 

1)- Analyse dimensionnelle et tableau :

a)-   Analyse dimensionnelle.

Grandeur physique

Unité

 

[vc]

(m . s–1)

 

[e]

(C)

De la relation

F = q . E

On tire :

 

[U]

(V)

 

[m]

(kg)

De la relation

P = m . g, on tire

 

 

 

cette expression est bien homogène à une vitesse.

 

b)-  Tableau :

 

Mécanique classique

Valeurs expérimentales

U (V)

vc (m . s–1)

vc (m . s–1)

1,00 x 102

5,93 x 106

5,93 x 106

1,00 x 103

1,87 x 107

1,87 x 107

1,00 x 104

5,93 x 107

5,85 x 107

1,00 x 105

1,87 x 108

1,64 x 108

1,00 x 106

5,93 x 108 > c ?

2,82 x 108

1,00 x 107

1,87 x 108 > c ?

2,99 x 108

2)- Valeurs expérimentales et mécanique classique :

-     Tant que la vitesse des électrons est petite devant la vitesse de la lumière dans le vide, les valeurs expérimentales sont en accord avec les résultats de la mécanique classique.

3)- Valeur limite de la vitesse que peuvent atteindre les électrons 

-     La valeur limite de la vitesse que peuvent atteindre les électrons est la vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0 x 108 m . s –1

4)- Validité de la mécanique classique :

-     La mécanique classique n’est plus utilisable lorsque la valeur de la vitesse des particules est trop proche de la vitesse de la lumière dans le vide.
-     On peut utiliser la mécanique classique tant que v < 0,10 c.

 

V- Exercice 20 page 223 : Quand les durées se dilatent.

 

La relativité restreinte conduit à des conclusions surprenantes dont celle de la dilatation des durées.

L’expérience de pensée suivante permet de démontrer la formule de dilatation des durées et l’expression du coefficient γ.

Elle utilise une « horloge de lumière » qui est un dispositif imaginaire constitué de deux miroirs parallèles (représentés en bleu dans le schéma ci-dessous) entre lesquels les allers-retours d’un faisceau lumineux rythme le temps.

Schéma :

 

Dans un vaisseau spatial, un observateur O1, immobile par rapport à l’horloge de lumière, mesure la durée ΔT0 d’un aller-retour de la lumière entre les deux miroirs distants d’une longueur L. La lumière se déplace à une vitesse de valeur c.

Un autre observateur O2, à l’extérieur du vaisseau, regarde l’horloge et la voit se déplacer horizontalement à une vitesse de valeur v constante.

Dans le référentiel galiléen lié à O2, le faisceau de lumière parcourt une distance plus grande que celle parcourue dans le référentiel galiléen relié à O1 du fait du déplacement du vaisseau (schéma ci-dessus).

La lumière ayant une vitesse de valeur c indépendante du référentiel, la durée ΔT’ mesurée par O2 sera supérieure à la durée ΔT0.

1)- Lequel des observateurs mesure la durée propre ?

2)- Distance parcourue par la lumière par rapport à O1 :

a)-   Pour O1, quelle est la distance parcourue par la lumière lors d’un aller-retour entre les deux miroirs ?

b)-  Exprimer cette distance en fonction de c et ΔT0.

3)- Distance parcourue par la lumière par rapport à O2 :

a)-   Sur le schéma ci-dessous, on a représenté différentes positions de l’horloge observée par O2 lors d’un aller-retour de la lumière entre les deux miroirs.

-     Schéma :

 

-     Pour O2, exprimer, en fonction de v et de ΔT’, la distance d parcourue par l’astronef pendant un aller simple de la lumière.

b)-  On appelle ℓ la distance parcourue par la lumière dans le référentiel lié à O2 pendant la durée ΔT’. Recopier et compléter le schéma de la question 3)- a)- en faisant apparaître d, L et .

c)-   Quelle est la relation entre d, L et  ?

4)- Distances et durées :

a)-   Exprimer la distance en fonction de c et ΔT’.

b)-  À l’aide des questions précédentes, exprimer la durée ΔT’ en fonction de ΔT0 et montrer que le coefficient γ apparaissant vaut :

-      

5)- Pourquoi parle-t-on de dilatation des durées dans le titre de l’exercice ?

 

 

 

1)- Observateur qui mesure la durée propre :

-     L’observateur O1 étant immobile par rapport à son horloge, il mesure la durée propre ΔT0.
-     Alors que l’observateur O2 qui se déplace à la vitesse de valeur v par rapport à l’observateur O1 donne la durée mesurée ΔT’.

2)- Distance parcourue par la lumière par rapport à O1 :

a)-   Distance parcourue par la lumière lors d’un aller-retour entre les deux miroirs :

-     Schéma :

 

-     La lumière parcourt la distance D pour un aller-retour :
-     D = 2 L.

b)-  Expression cette distance en fonction de c et ΔT0.

-     D = 2 L = c . ΔT0
-      

3)- Distance parcourue par la lumière par rapport à O2 :

a)-   Expression, en fonction de v et de ΔT’, de la distance d parcourue par l’astronef pendant un aller simple de la lumière.

-     L’astronef se déplace à la vitesse v pendant la durée ΔT et elle parcourt la distance 2 d.
-      

b)-  Schéma :

 

c)-   Relation entre d, L et  :

-      

4)- Distances et durées :

a)-   Expression de la distance en fonction de c et ΔT’ :

-     La lumière se déplace à la vitesse c pendant la durée ΔT’ :
-     = c . ΔT’ 

b)-  Expression de la durée ΔT’ en fonction de ΔT0 et expression du coefficient γ

-      
-     Avec
-     ΔT’ = γ . ΔT0

5)- La dilatation des durées.

-     Comme :
-      
-     La durée ΔT’ > ΔT0
-     Par rapport à l’observateur O2, l’horloge de l’astronef semble ralentir, elle retarde. Les durées sont plus longues pour l’observateur O2 par rapport à l’observateur O1.

 

VI- Exercice 26 page 225 : L’énergie relativiste.

 

 

Dans le vide, l’énergie relativiste totale E d’une particule de masse m s’exprime par :

-     E2 = p2 . c2+ m2 . c4
-     p est la valeur de la quantité de mouvement relativiste.
-     avec
-     Et  la vitesse de la particule dans le référentiel terrestre.

1)- Montrer que cette énergie peut se mettre sous la forme :

-     E = γ . m . c2

2)- L’énergie relativiste totale E de la particule est la somme de son énergie cinétique relativiste Ec (qui dépend de la valeur de la vitesse v de la particule dans le référentiel galiléen) et de son énergie de masse, appelée aussi énergie au repos, E0 = m . c2, indépendante de v.

-     Déterminer l’expression relativiste de l’énergie cinétique d’une particule de masse m.

3)- Contrairement à la mécanique classique, la théorie de la relativité restreinte prévoit qu’une particule de masse nulle, par exemple un photon, transporte de l’énergie.

a)-   Que dire du rapport  dans le cas d’une particule de masse nulle ?

b)-  Que peut-on en déduire à propos du coefficient γ d’une telle particule ?

c)-   En déduire la valeur de la vitesse dans le vide d’une particule de masse nulle.

4)- Un photon transporte une énergie E qui dépend de la fréquence υ de la radiation associée.

a)-   Pour un photon, exprimer E en fonction de la fréquence υ, puis de la longueur d’onde λ de cette radiation.

b)-  Pour un photon, exprimer E en fonction de p et c.

c)-   En déduire, pour un photon, l’expression de p en fonction de λ.

 

 

1)- Expression de l’énergie totale E.

-     E2 = p2 . c2+ m2 . c4
-     E2 = (γ . m . v)2. c2 + m2 . c4
-      
-     E = γ . m . c2

2)- Expression relativiste de l’énergie cinétique d’une particule de masse m.

-     E = γ . m . c2 et E = Ec + E0 avec E0 = m . c2
-      

3)- Le photon :

a)-   Étude du rapport  :

-      
-     Si m = 0, alors

b)-  Coefficient γ pour le photon.

-     Comme la masse d’un photon est nulle et que son énergie a une valeur finie,
-     Or, comme le rapport
-     On tire que le coefficient γ → + ∞

c)-   Valeur de la vitesse dans le vide du photon

-     Dans le cas d’un photon, le coefficient γ → + ∞
-     Avec
-     En conséquence
-    
-     La vitesse de déplacement des photons est la vitesse de la lumière dans le vide.

4)- Photon et énergie :

a)-   Expression de E en fonction de la fréquence υ, puis de la longueur d’onde λ de cette radiation.

-     Énergie d’un photon : Chap. N° 03 Sources de lumières colorées (1S)
-    E = h . ν ou
-     Pour une onde électromagnétique de fréquence ν et de longueur d’onde λ dans le vide
-     La grandeur h est la constante de Planck : h = 6,62 x 10 34 J.s.
-     La grandeur c représente la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide :
-     c = 3,00 x 10 8 m / s
-     L’énergie E s’exprime en joule.

b)-  Expression de E en fonction de p et c

-     E2 = p2 c2 + m2 . c4
-     Pour un photon, m = 0
-     E = p . c

c)-   Expression de p en fonction de λ

-      

 

VII- Voyage vers le futur. Nathan (exercice 31 page 258)

 

 

Considérons deux frères jumeaux. L’un d’eux embarque dans une fusée pour un voyage intersidéral à très grande vitesse.

Pendant son voyage, tous semble ralentir (ses horloges, son cœur) du point de vue de son frère resté sur Terre (mais non de son propre point de vue).

Quand il revient, il est donc plus jeune que son frère resté sur Terre. Mais on peut raisonner dans l’autre sens. Le jumeau voyageur voit son frère terrien se déplacer à grande vitesse. C’est donc son frère qui devrait être plus jeune à son retour. Où est l’erreur ?

Une étude rigoureuse montre que le jumeau voyageur serait effectivement plus jeune que l’autre à son retour sur Terre. On peut dire qu’il a voyagé dans le futur.

Si la relativité n’interdit pas l’idée de voyages dans le futur, elle réfute celle de voyages dans le passé. Il est vrai que, si un évènement A se produit avant un autre évènement B dans un référentiel, A peut se produire après ou en même temps que B dans un autre référentiel. Mais si l’évènement A est la cause de l’évènement B, alors A précède B dans tous les référentiels : dans aucun référentiel vous ne pourrez lire un SMS avant qu’il n’est été envoyé.

D’après « Bac to Basics », Élisa Brune, La Recherche N° 353.

 

1)- Le problème des jumeaux.

a)-   À quel phénomène fait référence la phrase surlignée ?

b)-  Expliquer l’indication : « mais non de son propre point de vue ».

c)-   Expliquer, en utilisant la notion de référentiel, la signification de la phrase : « Mais on peur raisonner dans l’autre sens ».

d)-  Quelle propriété doit vérifier un référentiel pour que l’on puisse lui appliquer les lois de la relativité restreinte ?

e)-   On peut admettre que le référentiel géocentrique vérifie cette propriété. Montrer que cela ne peut pas être le cas pour le référentiel du vaisseau. En conclure que les situations des jumeaux ne sont pas symétriques.

f)-   La réciprocité des situations ne s’applique donc pas aux « jumeaux » : Quelle en est la conséquence ?

2)- Le principe de causalité.

a)-   En utilisant le principe de causalité décrit dans la dernière phrase du texte, répondre à la question suivante : si un terrien calcule que la chute d’une météorite sur Jupiter provenant du système solaire s’est produite avant l’explosion d’une supernova, est-il envisageable qu’il existe un référentiel dans lequel l’explosion s’est produite avant la chute de la météorite ?

b)-  De même, si une bouffée de particules due à une éruption solaire arrive sur la Terre, existe-t-il un référentiel dans lequel l’arrivée des particules sur la Terre se produit avant l’éruption ?

 

 

1)- Le problème des jumeaux.

a)-   Phénomène mis en évidence :

-     Pendant son voyage, tous semble ralentir (ses horloges, son cœur) du point de vue de son frère resté sur Terre
-     C’est le phénomène de dilatation des durées pour un objet en mouvement
-     ΔT’ = γ . ΔT0 avec γ ≥ 1
-     La durée mesurée est supérieure à la durée propre.
-     Une horloge qui se déplace par rapport à un observateur bat plus lentement qu’une horloge immobile par rapport à l’observateur.

b)-  Explication de l’indication : « mais non de son propre point de vue ».

-     La dilatation des durées concerne la mesure des durées dans deux référentiels se déplaçant l’un par rapport à l’autre.
-     Une durée propre concernant un objet est une durée mesurée par une horloge immobile dans le référentiel propre à cet objet.
-     Dans le référentiel propre au voyageur, celui-ci ne voit pas de changement dans l’écoulement du temps. Il perçoit le changement de l’écoulement du temps dans le référentiel lié dans l’autre référentiel qui se déplace par rapport à lui.

c)-   Signification de la phrase et notion de référentiel :

-     « Mais on peur raisonner dans l’autre sens ».
-     On peut raisonner du point de vue du voyageur, en choisissant son référentiel comme étant immobile et le référentiel terrestre en mouvement.

d)-  Propriété du référentiel pour que l’on puisse lui appliquer les lois de la relativité restreinte :

-     Pour pouvoir appliquer les lois de la relativité restreinte, le référentiel doit être galiléen.

e)-   Situations des jumeaux.

-     Le référentiel lié au vaisseau n’est pas galiléen :
-     Le référentiel lié au vaisseau doit accélérer au départ, puis ralentie à l’arrivée. Il doit faire un demi-tour pour revenir.
-     Le mouvement du référentiel lié au vaisseau n’est pas rectiligne uniforme. Ce n’est pas un référentiel galiléen.
-     Alors que le référentiel terrestre lié à l’autre jumeau est galiléen.
-     Les situations des deux jumeaux ne sont pas symétriques :
-     Le jumeau situé dans le vaisseau subit une accélération et un ralentissement alors que celui resté sur Terre se déplace d’un mouvement rectiligne uniforme.

f)-   Conséquence de la non réciprocité des situations des « jumeaux » :

-     Il n’y a pas de réciprocité dans les situations des deux jumeaux.
-     Il découle de ceci qu’il n’est pas contradictoire de pas retrouver les deux jumeaux au même stade de vieillissement.
-     C’est l’application incorrecte de la réciprocité de la situation qui conduit à ce que l’on appelle le paradoxe des jumeaux de Langevin.

2)- Le principe de causalité.

a)-   Cas d’évènements indépendants :

-     Les évènements étant indépendants, le cas est envisageable.
-     Il peut exister un référentiel dans lequel l’explosion s’est produite avant la chute de la météorite.

b)-  Cas d’évènements dépendants :

-     L’arrivée des particules sur Terre avant l’éruption : cette situation est impossible car c’est l’éruption qui produit les particules. L’éruption est la cause de l’arrivée des particules. Les deux évènements sont liés.